راهبردهای حل مساله

روش تدریس

مسئله انبه در شكل شماره 1 مطرح شده است. قبل از مطالعه بقیه این طرح درس ، ابتدا مسئله را خوانده و به حل آن اقدام كنید. به چگونگی مراحل حل مسئله خود توجه نمایید. اگر گیج شده و موفق به حل نشدید ، در جستجوی راهبرد دیگری برای حل آن درآیید.

یك شب كه پادشاهی از گرسنگی ، نتوانست بخوابد به آشپزخانه سلطنتی رفت و در آنجا ظرفی پر از انبه یافت. چون گرسنه بود انبه ها را خورد و به اتاقش بازگشت. كمی بعد در همان شب ، ملكه نیز از شدت گرسنگی نتوانست بخواند . بنابراین او نیز در آشپزخانه ، انبه ها را یافت و انبه های باقیمانده را خورد. كمی بعد بزرگترین شاهزاده بیدار شد و باقیمانده انبه ها را خورد.پس از او برادرش شاهزاده وسطی ، انبه های باقیمانده را خورد.سرانجام كوچكترین برادر انبه های باقیمانده را خورد . بدین ترتیب فقط 3 انبه برای خدمتكاران باقی ماند. در ابتدا چند انبه توی ظرف بود؟

مسئله انبه ، مورد علاقه معلمانی است كه مایلند توانایی های حل مسئله را در دانش آموزانشان توسعه دهند. زیرا دانش آموزان راهنمایی می توانند این مسئله را حداقل از 4 راهبرد متفاوت حل نمایند.( راهبردهای حدس و آزمایش ، رسم شكل ، زیر مساله ، و تشكیل معادله ) این مسئله ، مثالی عالی برای نمایش قدرت و غنای ریاضی هنگام بكارگیری راهبردهای چندگانه در حل مسئله می باشد.

از این مسئله همچنین می توان برای اهداف آموزشی متنوع مانند ارزشیابی استفاده كرد در مواقعی كه هدف ما از ارزشیابی ، توانایی دانش آموز در كاربرد راهبردهای متنوع باشد. همچنین با هدف استفاده از انواع راهبردها تا حد امكان ، از این مسئله می توان به عنوان تكلیف در كارگروهی مشاركتی بهره برد.

در مطالب زیر ، به هر یك از 4راهبرد مسئله انبه بصورت خلاصه می پردازیم همچنین تجربیات حاصل از اجرای عملی این راهبردها در كلاسها بیان می گردد ، دو تعمیم جالب برای مسئله پیشنهاد شده و مثالی از یك مسئله مشابه ( ملوان ها و نارگیل ها) در ادامه ی توسعه طرح درس برای بررسی بیشتر چهار راهبرد مذكور ، داده خواهد شد.

راهبرد حدس و آزمایش 

در این راهبرد دانش آموزان ابتدا تعداد اولیه انبه های داخل ظرف قبل از ورود پادشاه به آشپزخانه را حدس می زنند سپس آنها برای بررسی حدس خود ، آن را با اطلاعات داده شده در مسئله می سنجند. اگر حدسشان درست نباشد ، بار دوم حدس بهتری را ( با استدلال منطقی ) مشخص می كنند. این فرآیند همچنان ادامه می یابد تا به پاسخ درست مسئله برسند . احتمالا برخی از دانش آموزان حدس هایی می زنند كه غیرمعقول و نامربوط است .

در این موارد معلمان باید چگونگی آغاز یك حدس معقول را بدان ها خاطر نشان كنند و با آنها راجع به تشكیل جدولی برای ثبت و سازمان دهی اطلاعات مربوط به حدس های خویش ، صحبت نمایند.بدین ترتیب دانش آموزان براحتی از این راهبرد استفاده خواهند نمود.

تجربه عملی :

یكی از گروهها بسرعت فهمیدند كه حدس اولیه آنها باید بر 6 قابل قسمت باشد تا پادشاه بتواند آن را بخورد و عدد 24 را به عنوان حدس اولیه بیان كردند اما در پایان مسئله 4 انبه به جای 3 انبه باقی ماند . بنابراین گروه فهمید كه تعداد اولیه 24 انبه زیاد بوده و حدس خود را به عدد 18 اصلاح كرد . گروه با آزمایش عدد 18 فهمید كه پاسخ صحیح مسئله است.

در گروه دیگری كه آنها هم فهمیدند حدس اولیه باید بر 6 قابل قسمت باشد ، عدد 12 را پیشنهاد كردند. باآزمایش این عدد ، در پایان فقط 2 انبه باقی ماند. سپس انها به عدد بعدی قابل قسمت بر 6 یعنی 18 رسیدند.

برخی از گروهها درنیافتند كه پاسخ باید بر 6 بخش پذیر باشد. آنها با حدس اعداد 16 و 14 نتوانستند بصورت دستی تقسیمات مسئله را انجام دهند و از ماشین حساب كمك گرفتند.

حدس اولیه یكی از گروهها 1000 بود كه به 100 ، 30 ، 20 ، 19 و 18 اصلاح شد. آنها برای حدس اولیه خود از هیچ منطقی استفاده نكردند جز اینكه پس از آزمایش این حدس ، تعداد انبه های باقی مانده را بسیار زیاد یافتند.

راهبرد رسم شكل :

سهولت حل این مسئله با این راهبرد شگفت انگیز است. بدین منظور ابتدا مستطیلی رسم كنید كه نشان دهنده تعداد اولیه انبه ها باشد . چون پادشاه  انبه ها را خورده است ، مستطیل را به 6 قسمت تقسیم كرده و 1 قسمت آن را حذف كنید.

در اینصورت 5 قسمت مساوی باقی می ماند كه ملكه 1 قسمت آن را خورده است. بنابراین 1 قسمت از 5 قسمت را هم حذف می كنیم.

به همین ترتیب شكل باقی مانده را برای شاهزاده بزرگ

و شكل باقی مانده را برای شاهزاده وسطی

و شكل باقی مانده را برای شاهزاده كوچكتر حذف می كنیم .

 

بدین ترتیب فقط 1 قسمت از مستطیل باقی می ماند كه معادل 3 انبه می باشد .

اگر هر قسمت از مستطیل معادل 3 انبه باشد پس كل مستطیل یعنی تعداد اولیه انبه ها 18 خواهد شد. 18= 3×6

با این راهبرد بصورت تصویری و ملموس ، می توان مراحل حل مسئله را بخوبی نشان داد.

تجربه عملی :

گروه دیگری نیز گرچه با روش مشابه حل كرد اما در پایان نتوانست با نسبت دادن عدد 3 به یك قسمت از دایره به پاسخ مسئله برسد و فقط عدد 3 را با تعداد قسمت های دایره یعنی 6 جمع كرد.

راهبرد زیر مساله :

استفاده از این راهبرد برای حل این مساله نه تنها برای دانش آموزان راهنمایی بلكه برای بزرگسالان هم آسان نیست. استفاده از این راهبرد مستلزم حل مساله از آخر به اول است. در این راهبرد ابتدا باید مساله را به چند مساله ی کوچک تقسیم کرد و مرحله به مرحله به حل آن پرداخت.

الف- ابتدا از انتهای مسئله شروع می كنیم( یعنی 3 انبه باقی مانده)

ب- بصورت برعكس مراحل مسئله را انجام می دهیم.

ج- با دقت مقدار هر مرحله را محاسبه می كنیم تا از انتها به ابتدای مسئله برسیم. برای مسئله انبه ها چنین انجام می دهیم :

تجربه عملی :

بعضی از دانش آموزان در انجام قسمت های 2 به بعد مشكل داشتند. برخی برای یافتن پاسخ هر مرحله ، از راهبرد حدس و آزمایش استفاده می كردند.

برخی این راهبرد را با راهبرد “ یافتن یك الگو“ ادغام كردند و وقتی در مراحل معكوس ، اعداد 3و 6 و9 را یافتند با الگوی ( هر دفعه 3 تا اضافه می شود ) به پاسخ 18 رسیدند.

برخی از دانش آموزان سه راهبرد “ زیر مساله “ “ رسم شكل “ و “ الگویابی “ را با هم تركیب كردند. آنها ضمن رسم شكل ، الگوی افزایش سه تایی به اعداد را هم استفاده كردند. دانش آموزی كه سریعتر از بقیه از این راهبرد به پاسخ صحیح رسید چنین استدلال می كرد:

6 نشان دهنده یك چیز است . پس آن چیز باید 3 باشد پس اگر 6 ( آن چیز ) را با 3 ( آن چیز ) جمع كنیم ، یعنی آن چیز را بدست آورده ایم.و بدین ترتیب به عدد 9 رسید.

برای بدست آوردن عدد 12 از 9 چنین استدلال كرد: عدد 9 سه چهارم یك چیز است. اگر آن را به 3 تقسیم كنیم، آن چیز بدست می آید، حال اگر 3 را با 9 جمع كنیم آن چیز بدست می آید.

برای دانش آموزان راهنمایی ، تشكیل معادله ای به منظور حل مسئله فوق ، بسیار دشوار است . برای تشكیل معادله ابتدا متغیر x را به تعداد اولیه انبه ها اختصاص می دهیم.

1. چون پادشاه انبه ها را خورده پس مقدار باقیمانده آن برابر  می گردد.
2. ملكه انبه های باقیمانده را خورد. پس از خوردن ملكه این مقدار باقی ماند :
3. شاهزاده بزرگتر انبه های باقیمانده را خورد یعنی مقدار باقیمانده برابر  می گردد.
4. شاهزاده وسطی انبه های باقیمانده را خورد بنابراین باقی می ماند.
5. سرانجام شاهزاده كوچكتر مقدار باقیمانده را خورد یعنی چون مقدار باقیمانده x مساوی 3 می باشد پس 3= x و 18= x

برای تمرین راهبردهای مطرح شده، می توان از مسئله زیر معروف به “ ملوانها و نارگیل ها “ نیز استفاده نمود.

سه ملوان به جزیره بی آب و علفی رسیدند كه محل زندگی دسته ای از میمون ها بود. ملوان ها تمام روز به جمع آوری نارگیل پرداختند و شب هنگام آنقدر خسته بودند كه نارگیل ها را نشمردند. آنها توافق كردند كه صبح روز بعد نارگیل ها را بین خودشان به تساوی قسمت كنند . در نیمه های شب یكی از ملوان ها بیدار شد و تصمیم گرفت سهم خود را بردارد. او فهمید كه وقتی نارگیل ها را به سه قسمت مساوی تقسیم كند یكی از نارگیل ها اضافه می آید بهمین خاطر آن را برای میمون ها انداخت و سهم خود را برداشت و رفت. كمی بعد دومین ملوان بیدار شد و مانند ملوان قبلی خواست تا سهم خود را بردارد . او نیز وقتی نارگیل های باقیمانده را به سه قسمت كرد 1 نارگیل اضافه آمد كه آن را برای میمون ها انداخت. سپس سهم خود را برداشت و رفت.بهمین ترتیب سومین ملوان هم بیدار شد و دقیقا همان كارها را انجام داد یعنی نارگیل های باقیمانده را برداشت و 1 نارگیل را برای میمون ها انداخت. صبح روز بعد ، ملوان ها متوجه شدند كه كپه نارگیل ها خیلی كوچك شده ولی هر یك تصور می كرد كه فقط او از نارگیل ها برداشته و بدین خاطر هیچكس حرفی نزد. آنها نارگیل های باقی مانده را به سه قسمت مساوی كردند و به هر یك 7 نارگیل رسید و 1 نارگیل هم اضافه آمد كه ان را برای میمون ها انداختند. حال شما بگویید كه در ابتدا ملوان ها چند نارگیل جمع آوری كردند؟

پاسخ این مسئله 79 نارگیل است. برای حل، ابتدا از راهبرد بزیر مساله به همان ترتیب از آخر به اول استفاده كنید اما همزمان راهبرد رسم شكل را نیز بكار برید.

این مسئله را می توان به شكل دیگری نیز مطرح كرد یعنی بجای اینكه بگوییم “ در پایان ، تعداد نارگیل های باقیمانده را كه قسمت كردند به هر ملوان 7 نارگیل رسید و 1 نارگیل برای میمون ها باقی ماند“ بگوییم “ در پایان تعداد نارگیل های باقیمانده ، بطور مساوی بین سه ملوان قسمت شد و 1 نارگیل برای میمون ها باقی ماند“.

این كار باعث می شود تا دانش آموزان از راهبرد حدس و آزمایش هم استفاده كنند و برای تعداد نارگیل های هر ملوان حدس های مختلفی بزنند. البته آنها بسرعت می توانند حدس های غیر منطقی را حذف نمایند زیرا عدد پیشنهادی باید بر 3 قابل قسمت باشد تا بتواند بین 3 ملوان تقسیم گردد. 

برای اینكه دانش آموزان را به تعمیم و تشخیص الگوهای ریاضی وادار كنیم ، می توان مسئله انبه ها را به دو روش زیر بسط داد. فرض كنید تعداد افراد مطرح شده در مسئله انبه ها 10 نفر باشند یعنی نفر اول انبه ها را می خورد ، نفر دوم باقیمانده ، نفر سوم باقیمانده و بهمین ترتیب تا اینكه فقط 3 انبه باقی بماند .